Hanno Dönneweg studierte am Badischen Konservatorium Karlsruhe, an der Musikhochschule Köln/Aachen und an der Musikhochschule Stuttgart, ehe er 1998 an die Hochschule für Musik „Hanns Eisler“ in Berlin wechselte. Seine Lehrer waren Prof. Klaus Thunemann, Prof. Sergio Azzolini und Oscar Bohórquez. Meisterkurse besuchte er u.a. bei Janos Meszaros und Helman Jung.

Hanno Dönneweg war Stipendiat der Herbert v. Karajan Stiftung der Berliner Philharmoniker sowie des Deutschen Musikwettbewerbs und Mitglied der Bundesauswahl „Konzerte junger Künstler“.
Er trat bei den Festspielen in Mecklenburg-Vorpommern, Schleswig-Holstein, den Schwetzinger SWR Festspielen und den Ittinger Pfingstkonzerten auf und musizierte mit Künstlern wie Jacques Zoon, Heinz Holliger, Radovan Vlatkovic und Sabine Meyer. Er konzertiert regelmäßig mit den Ludwig Chamber Players, den Stuttgart Winds, dem SWR Swing Fagotett sowie im Duo mit dem Organisten und Cembalisten Steffen Mark Schwarz.

Hanno Dönneweg spielte solistisch u.a. mit dem Radio-Sinfonieorchester Stuttgart des SWR, dem Orquestra Sinfonica de la Ciudad de Asunción in Paraguay, dem Folkwang Kammerorchester Essen, dem Kurpfälzischen Kammerorchester Mannheim, dem Südwestdeutschen Kammerorchester Pforzheim sowie dem Arcata Kammerorchester Stuttgart unter Dirigenten wie Eiji Oue, Tatsuya Shimono, Gregor Bühl, Sigiswald Kuijken, Michael Sanderling und Sir Roger Norrington.
Besonders wichtig ist Hanno Dönneweg die Musikvermittlung an Jugendliche. So besucht er regelmäßig im Rahmen des „Young Classix“-Projekts des Radio-Sinfonieorchesters Stuttgart Schulen und Musikschulen und versucht Jugendliche für die klassische Musik zu begeistern. Darüber hinaus gibt er Meisterkurse in Deutschland, Japan, Taiwan und den USA. Seit 2008 ist er Dozent beim renommierten Affinis Festival in Japan.
Ebenfalls 2008 startete der erste Bergstadtsommer in St. Georgen, ein Musikfestival, das Hanno Dönneweg zusammen mit seinem Bruder Karsten Dönneweg gegründet hat und das nun alljährlich in der Schwarzwaldstadt stattfinden wird. Im Juli 2014 wurde Hanno Dönneweg der erste Exzellenzpreis des Vereins der Freunde und Förderer des Radio-Sinfonieorchesters Stuttgart des SWR e.V. verliehen.
Seit 2002 ist Hanno Dönneweg Solo-Fagottist des Radio-Sinfonieorchesters Stuttgart des SWR, seit 2016 in gleicher Position beim neuen SWR Symphonieorchester.

Im Jahr 2016/2017 unterrichtete Hanno Dönneweg an der Académie supérieure de musique, Strasbourg als „Professeur de musique“.

Er spielt ein Fagott der Firma Wilhelm Heckel, Biebrich, mit der Seriennummer 15322.